のぞみの広場

「いもづる式」の話です。

No.117
希学園 算数科 山沢 誠人

 あらかじめお断りしておきます。いまからここに書く話は、いたって、すこぶる、極めてまじめな話です。ちょっと「ええっ!?」って意表を突いた出だしにしてみようと思いまして。さてさてそれでは、まじめな話を始めます。


 まず、お酒が大好きな人がいてお酒がここにあるとしましょう。はい、まじめな話ですよ。もちろん飲むでしょうね。周りの人に「もうほどほどにした方がいいんじゃないの」と言われたあたりで、「あと1滴なめるだけなら良いでしょう?」と問います。すると周りの人は「まあ1滴なら……」と言ってくれるでしょう。この時点で大勝利です。酒を飲んだ後にあと1滴が許される→じゃあまた1滴なめてもいいよね→その1滴をなめた後で、じゃあまた1滴いいよね→……これを500回くらい繰り返せば1缶分くらいの酒になるでしょう。これが大人が酒を無限に飲むことについて他人に許可を得る方法です。ちなみに僕はこの方法を使ったことはないですし、この方法を使おうとする大人が周囲からどのような視線で見られるかはみなさんのご想像にお任せします。
 この話は冗談だとして、今日のテーマは上の例で挙げたような「あることがらをいもづる式に続けていくと面白い結末が待っている」という話です。読んでくれているみなさんの思考力を鍛える、ほら、とってもまじめな話でしょう? 読みながら自分でも考えてみてくださいね。


 ではまた例題でいきましょう。小学校のクラス会で次のようなゲームをしました。「クラスの全員が1~100の整数から1つ選びます。全員が選んだ数のうち、2番目に小さい数を選んだ人が優勝です。」さて、あなたはいくつを選びますか?
 このゲームで「私は1を選んだわ!」という人はまあいないでしょう。「選ぶわけないじゃん!」と笑った人もいるのでは? そうです。このゲームはどう転んでも「1が2番目に小さい数」にはなり得ないですね。ここまでわかっているはずなのに、2を選んでしまった人はいませんか? 今の話のとおり、1を選ぶ人はいるわけがないのですから、実質このゲームは「2~100の整数から1つ選ぶ」べきゲームに変わっているのです。クラスの全員が「2~100の整数から1つ選ぶ」ゲームをしているのです。それならば2も選ぶべきではないですね。このゲームで2は1番小さい数なのですから、2番目に小さい数にはなりません。あれあれ? 2も選ぶべきではないということは、このゲームは「3~100の整数から1つ選ぶ」ゲームだったということですね……。もう分かりましたか? 「1~100から2番目に小さい数を選ぶ」→1は候補に入らないから、実質「2~100から2番目に小さい数を選ぶ」→2は候補に入らないから、実質「3~100から2番目に小さい数を選ぶ」→……このように繰り返していくと、最終的に「99~100から2番目に小さい数を選ぶ」→「100しか選べない!!」となってしまうわけです。これは理屈通りにいった場合の話ですが、実際にはクラス全員が100を選ぶというのはなかなか起こりにくいでしょうね。現実的な落としどころを見極めていきたいものです。ゲームの対戦相手が僕のように超超超賢そうな人ばかりなら100を選ぶべきなのでしょうし、「ああ、あいつ何も考えずに『2』って言いそうだなあ」と思わせる人が相手にいるなら3を選ぶ、とかですかね。


 もう1つ例題を見てみましょう。学校の先生が月初めに次のようにおっしゃいました。「今月中のどこかでテストをやるよ! でも何日にやるか、みんなは事前には分からないよ!」さて、このテストはいつ行われるでしょうか。
 いわゆる抜き打ちテストですね。でもこの先生はだいぶ親切ですね。「どこかでやるよ」とヒントをくださったのですから。僕なら100%「はいでは今からテストしまーす(笑)」って始めますけど。
 この月を5月と考えてみましょう。テストの日付を5月最終日の5月31日としましょう。するとこのテストは5月30日まで行われなかったのですから、5月30日の時点で生徒は「明日(5月31日)テストするんじゃん」と分かってしまいます。これは先生のおっしゃった「事前には分からない」ということに反しますね。ということはテストの日は1日~30日のどこか、ということになります。カンの良い人はもう気づいたでしょうか。次はテストの日を5月30日としてみます。5月29日の時点でテストが行われていないので、生徒は「テストは30日か31日だ」と分かってしまいます。しかし先に考えたように、テストの日付は1日~30日のどこかですから、30日と確定してしまいます。やはり生徒は29日の時点でテストが30日にある、とわかってしまうため、これも条件に反します。ですから、テストの日は1日~29日のどこか、ということになります。
 前の例題までと同じようにまとめてみると、テストは1日~31日のどこか→31日だと事前に分かってしまうので、1日~30日のどこか→30日だと事前に分かってしまうので、1日~29日のどこか→……→1日~2日のどこか→2日だと事前に分かってしまうので1日。ということで、このテストが行われるのは先生がテストの予告をしたその日(何なら生徒に事前に気づかれないようにするために、予告をしたその瞬間)、ということになります。だいぶ親切な先生だと思ったらとんでもない鬼でした。


 いかがでしたでしょうか。普段の学習ではあまり使わない、面白い考え方ではないでしょうか。実はこの「いもづる式に続けていく」考え方、高校数学で学習するんです。「数学的帰納法」という超カッコイイ名前で。これを読んでくれた希っ子がその頃に「ああ、無限に酒を飲むあれか」と思い出してくれたらうれしいな。


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